A construção do conceito de integral: uma viagem pelos três mundos da matemática

Abstract

Esta tese teve o objetivo geral de investigar a construção histórica do conceito de integral e como se dá o ensino desse conteúdo, à luz da teoria dos Três Mundos da Matemática, na formação inicial de professores de Matemática do estado do Rio Grande do Sul, e buscar compreender como os futuros docentes percebem a introdução desse conceito, a partir de uma prática fundamentada nos pressupostos teóricos estudados e desenvolvida por meio da Modelação. Essa pesquisa, de cunho qualitativo, iniciou-se, portanto, com a reconstrução do caminho percorrido pela humanidade no desenvolvimento dos conceitos do Cálculo, desde a Mesopotâmia e o Antigo Egito até o século XX. Passou-se, então, para a construção de ideias referentes aos Três Mundos da Matemática, buscando conectá-las com a concepção de integral. A seguir, foi realizado um estado do conhecimento para analisar de que forma as pesquisas brasileiras, oriundas de programas de pós-graduação stricto sensu, têm utilizado essa teoria para contribuir com os processos de ensino e aprendizagem de Cálculo. Identificou-se, também, os livros didáticos mais utilizados na formação inicial de docentes de Matemática, em instituições do Estado do Rio Grande do Sul, para compreender como costuma ocorrer a introdução do conceito de integral.Aplicou-se, então, uma atividade de Modelação, junto aos alunos de uma turma da disciplina de Cálculo II, do Curso de Licenciatura em Matemática, de uma instituição de ensino gaúcha. A partir dessa experiência, os discentes responderam a um questionário, que teve suas respostas dissertativas interpretadas por meio da perspectiva metodológica denominada de Análise Textual Discursiva. Nesse contexto, os resultados obtidos apontam que os acadêmicos puderam iniciar o estudo do conceito de integral a partir de já-encontrados provenientes dos mundos Conceitual Corporificado e Operacional Simbólico. Ademais, os futuros docentes consideraram que experiências corporificadas trazem mais sentido para as aulas e que uma construção pedagógica que não prioriza manipulações algébricas e definições formais é capaz de trazer mais motivação para aprender, podendo, inclusive, ser uma fonte de inspiração para a sua posterior atuação profissional.

This thesis aimed to investigate the historical construction of the concept of integral and how this content is taught in the light of the Three Worlds of Mathematics Theory in the initial education of mathematics teachers in the state of Rio Grande do Sul. It seeks to understand how the future professionals realize the introduction of this concept, from the practice based on the theoretical principles studied and developed through mathematical modeling. This is a qualitative research that was started with the reconstruction of the path followed by the mankind for the development of the concepts of calculus, from the Mesopotamia and Ancient Egypt to the XX century. The next step was the construction of ideas referring to the Three Worlds of Mathematics, seeking to connect them with the conception of integral. After that, the current state of knowledge was reviewed to analyze how Brazilian research, produced in stricto sensu programs, has used this theory to contribute to the processes of teaching and learning calculus. Another step was the identification of the most used teaching materials in the initial education of mathematics teachers in higher education institutions in Rio Grande do Sul to understand how the concept of integral is introduced.A mathematical modeling activity was then applied to undergraduate students in the subject Calculus II in the Mathematics teaching course in a higher education institution in Rio Grande do Sul. Based on that experience, the students answered a questionnaire, whose subjective answers were interpreted using the methodological approach called Discursive Textual Analysis. In such context, our results pointed out that the students could start the study of the concept of integral from the met-before coming from the Embodied Conceptual and Symbolic Operational worlds. Moreover, the students thought that embodied experiences give more meaning to the lessons and that an education construction that does not prioritize algebraic manipulations and formal definitions is able to create more motivation for learning, and might even become a source of inspiration for their subsequent professional action.